Euklid

Liber I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI

edidit et latine interpretatus est I. L. Heiberg (Leipzig, 1883)

Liber I.

Definitiones

1. Punctum est, cuius pars nulla est.
2. Linea autem sine latitudine longitudo.
3. Lineae autem extrema puncta.
4. Recta linea est, quaecunque es aequo punctis in ea sitis iacet.
5. Superficies autem est, quod longitudinem et latitudinem solum habet.
6. Superficiei autem extrema lineae sunt.
7. Plana superficies est, quaecunque ex aequo rectis in ea sitis iacet.
8. Planus autem angulus est duabus lineis in plano se tangentibus nec in eadem recta positis alterius lineae ad alteram inclinatio.
9. Ubi uero lineae angulum continentes rectae sunt, rectilineus adpellatur angulus.
10. Ubi uero recta super rectam lineam erecta angulos deinceps positos inter se aequales efficit, rectus est uterque angulus aequalis, et recta linea erecta perpendicularis adpellatur ad eam, super quam erecta est.
11. Obtusus angulus est, qui maior est recto.
12. Acutus uero, qui minor est recto.
13. Terminus est. quod alicuius rei extremum est.
14. Figura est, quod aliquo uel aliquibus terminis comprehenditur.
15. Circulus est figura plana una linea comprehensa, ad quam quae ab uno puncto intra figuram posito educuntur rectae omnes aequales sunt.
16. Centrum autem circuli punctum illud adpellatur.
17. Diametrus autem circuli recta quaedam est linea per centrum ducta et terminata utrimque ambitu circuli, quae quidem linea circulum in duas partes aequales diuidit.
18. Semicirculus autem ea est figura, quae diametro et arcu ab ea absciso comprehenditur. centrum uero semicirculi idem est, quod ipsius est circuli.
19. Figurae rectilineae sunt, quae rectis lineis comprehenduntur, trilaterae quae tribus, quadrilaterae quae quattuor, multilaterae quae plus quam quattuor rectis comprehenduntur.
20. Ex firguris autem trilateris aequilaterus triangulus est, qui tria latera sua aequalia habet, aequicrurius uero, qui duo sola aequalia habet, scalenus autem, qui tria latera sua inaequalia habet.
21. Praeterea uero es figuris trilateris rectangelus triangulus est, qui rectum angulum habet, obtusiangulus, qui obtusum habet, acutiangulus autem, qui tres angulos suos acutos habet.
22. Ex quadrilateris autem figuris quadratum est, quod simul aequilaterum est et rectangulum, parte altera longius est, quod rectangulum est neque uero aequilaterum. rhombus autem, quod aequilaterum est neque uero rectangulum, rhomboides autem, quod latera simul et angulos inter se opposita aequalia habet, sed neque aequilaterum est neque rectangulum; reliqua autem praeter haec quadrilatera trapezia adpellentur.
23. Parallelae sunt lineae, quae in eodem plano positae et in utramque partem productae in infinitum in neutra parte concurrunt.

1. Postuletur, ut a quouis puncto ad quodius punctum recta linea ducatur.
2. Et ut recta linea terminata in directum educatur in continuum.
3. Et ut quouis centro radioque circulus describatur.
4. Et omnes rectos angulos inter se aequales esse.
5. Et, si in duas lineas rectas recta incidens angulos interiores et ad eandem partem duobus rectis minores effecerit, rectas illas in infinitum productas concurrere ad eandem partem, in qua sint anguli duobus rectis minores.

1. Quae eidem aequalia sunt, etiam inter se aequalia sunt.
2. Et, si aequalibus awqualia adduntur, tota aequalia sunt.
3. Et, si ab aequalibus aequalia subtrahuntur, reliqua sunt aequalia.

7. Et quae inter se congruunt, aequalia sunt.
8. Et totum parte maius est.

1. Quoduis parallelogrammum rectangulum comprehendi dicitur duabus rectis rectum angulum comprehendentibus.
2. In quouis autem parallelogrammo spatio utrumuis parallelogrammorum curcum diametrum positorum cum duobus supplementis gnomon uocetur.

1. Aequales circuli sunt, quorum diametri aequales sunt, uel quorum radii aequales.
2. Recta circulum contingere dicitur, quaecunque circulum tangens et producta non secat circulum.
3. Circuli inter se contingere dicuntur, quicunque inter se tangentes non secant inter se.
4. In circulo rectae aequali spatio a centro distare dicuntur, si rectae a centro ad eas perpendiculars ductae aequales sunt.
5. Maiore autem spatio distare ea dicitur, in quam maior perpendicularis cadit.
6. Segmentum circuli est figura a recta aliqua et arcu circuli comprehensa.
7. Segmenti autem angulus is est, qui a recta et arcu circuli comprehenditur.
8. Angulus autem in segmenti puncto aliquo et ab eo rectis ad terminos ductis rectae, quae basis est segmenti, a rectis ductis comprehenditur.
9. Ubi uero rectae angulum comprehendentes arcum aliquem abscindunt, angulus in eo consistere dicitur.
10. Sector autem circuli est figura, quae angulo ad centrum circuli constructo a rectis angulum comprehendentibus et arcu ab iis absciso continetur.
11. Similia segmenta circulorum sunt, quae angulos aequales capiunt, uel in quibus anguli aequales sunt [cfr. Def. 8].

1. Figura rectilinea in figuram rectilineam inscribi dicitur, cum singuli anguli figurae inscriptae singula latera eius, in quam inscribitur, tangunt.
2. Similiter figura cicrum figuram circumscribi dicitur, cum singula latera cicrumscriptae singulos angulos eius, circum quam circumscribitur, tangunt.
3. Figura rectilinea in circulum inscribi dicitur, cum singuli anguli inscriptae ambitum cicruli tangunt.
4. Figura autem rectilinea cicrum circulum circumscribi dicitur, cum singula latera circumscriptae ambitum circuli contingunt.
5. Similiter autem circulus in figuram inscribi dicitur, cum ambitus circuli singula latera eius, in quam inscribitur, tangit.
6. Circulus autem circum figuram circumscribi dicitur, cum ambitus circuli singulos angulos eius, circum quam circumscribitur, tangit.
7. Recta in circulum aptari dicitur, cum termini eius in ambitu circuli sunt.

Liber V.

Definitiones.

1.    Pars est minor magnitudo maioris, si maiorem metitur.

2.    Multiplex autem maior est minoris, si minor eam metitur.

3.    Ratio est duarum eiusdem generis magnitudinum secundum quantitatem quaelibet habitudo.

4.    Rationem inter se habere magnitudines dicuntur, quae multiplicatae altera alteram superare possunt.

5.    In eadem ratione magnitudines esse dicuntur prima ad secundam et tertia ad quartam, si primae et tertiae aeque multiplices secundae et quartae aeque multiplices aut simul superant aut simul aequales sunt aut simul minores sunt suo ordine sumptae.

6.    Magnitudines autem eandem rationem habentes proportionales uocentur.

7.    Sin ex aeque multiplicibus primae multiplex multiplicem secundae superat, tertiae autem multiplex multiplicem quartae non superat, tum prima ad secundam maiorem rationem habere dicitur quam tertia ad quartam.

8.    Proportio autem in tribus terminis consistens minima est.

9.    Si tres magnitudines proportionales sunt, prima ad tertiam duplicatem rationem quam ad secundam habere dicitur.

10.     Sin quattuor magnitudines proportionales sunt, prima ad quartam triplicatam rationem quam ad secundam habere dicitur, et eodem modo semper deinceps,  qualiscunque data est proportio.

11.     Respondentes magnitudines dicuntur praecedentes praecedentibus, seuqentes sequentibus.

12.     Permutata ratio est, ubi sumitur praecedens ad praecedentem et sequens ad sequentem.

13.     Inuersa ratio est, ubi sumitur sequens praecedentis loco ad praecedentem sequentis loco.

14.     Composito rationis est, ubi sumitur praecedens cum sequenti pro una ad solam sequentem.

15.     Subtractio rationis est, ubi sumitur excessus, quo praecedens sequentem excedit, ad solam sequentem.

16.     Conuersio rationis est, ubi sumitur praecedens ad excessum, quo praecedens sequentem excedit.

17.     Datis compluribus magnitudinibus et aliis iis numero aequalibus, ita ut bini coniuncti in eadem ratione sint, ex aequo ratio est, ubi erit, ut in prioribus magnitudinibus prima ad extremam, ita in alteris magnitudinibus prima ad extremam. Uel aliter:
Ubi termini exteriors sumuntur omissis mediis.

18.     Perturbata autem ratio est, ubi datis tribus magnitudinibus et aliis numero iis aequalibus est ut in prioribus magnitudinibus praecedens ad sequentem, et ut in prioribus magnitudinibus praecedens ad sequentem, et ut in prioribus magnitudinibus sequens ad aliud, ita in alteris aliud ad praecedentem.

Liber VI.

Definitiones.

I.                    Figurae rectilineae similes sunt, quaecunque et angulos singulos aequales habent et latera aequales angulos comprehendentia proportionalia.

II.                 Reciprocae autem figurae sunt, ubi in utraque figura et praecedentes et sequentes rationes sunt.

III.               Secundum extremam ac mediam rationem recta linea secari dicitur, ubi tota ad partem maiorem eandem rationem habet ac maior pars ad minorem.

IV.              Cuiusuis figurae altitudo est recta a uertice ad basim perpendicularis ducta.

Liber VII.

Definitiones.

1. Unitas est ea, secundum quam unaquaeque res una nominatur.
2. Numerus autem est multitudo ex unitatibus composita.
3. Pars est minor numerus maioris, ubi maiorem metitur.
4. Partes autem, ubi non metitur.
5. Multiplex autem maior minoris, ubi minor eum metitur.
6. Par numerus est, qui in duas partes aequales diuiditur.
7. Impar autem, qui in duas partes aequales nonj diuiditur, siue qui unitate differt a pari numero.
8. Pariter par est numerus, quem par numerus secundum parem numerum metitur.
9. Pariter autem impar est, quem par numerus secundum imparem numerum metitur.
10. Impariter autem impar numerus est, quem impar numerus secundum imparem numerum metitur.
11. Primus numerus est, quem unitas sola metitur.
12. Primi inter se numeri sunt, quos unitas sola communis mensura metitur.
13. Compositus numerus est, quem numerus aliquis metitur.
14. Compositi inter se numeri sunt, quos numerus aliquis communis mensura metitur.
15. Numerus numerum multiplicare dicitur, ubi quot sunt in eo unitates, toties componitur numerus multiplicatus, et oritur aliquis numerus.
16. Ubi autem duo numeri inter se multiplicantes numerum aliquem efficunt, numerus inde ortus planus uocatur, latera autem eius numeri inter se multiplicantes.
17. Ubi autem tres numeri inter se multiplicantes numerum aliquem efficunt, numerus inde ortus solidus est, latera autem eius numeri inter se multiplicantes.
18. Quadratus numerus est aequaliter aequalis, siue qui duobus aequalibus numeris comprehenditur.
19. Cubus autem est aequaliter aequalis aequaliter, siue qui tribus aequalibus numeris comprehenditur.
20. Numeri proportionales sunt, ubi primus secundi et tertius quarti aut aeque multiplex est aut eadem pars aut eaedem partes.
21. Similes numeri plani et solidi sunt, qui latera proportionalia habent.
22. Perfectus numerus est, qui partibus suis aequalis est.

Liber X.

Definitiones.

1.     Magnitudines commensurabiles uocantur, quas eadem mensura metiri, incommensurabiles autem, quarum communis mensura inueniri nequit.

2.     Rectae potentia commensurabiles sunt, ubi quadrata earum eadem mensura metiri licet, incommensurabiles autem, ubi nullum spatium communis quadratorum earum mensura inueniri potest.

3.     His suppositis demonstratur, rectas numero infinitas esse datae rectae commensurabiles et incommensurabiles partim longitudine tantum, partim potentia quoque. iam data recta rationalis uocetur, et quae ei commensurabiles sunt siue longitudine potentiaque siue potentia tantum, rationales, quae autem ei incommensurabiles sunt, irrationales uocentur.

4.     Et quadratum datae rectae rationale uocentur, et quae ei commensurabilia sunt, rationalia, quae autem ei incommensurabilia sunt, irrationalia, et rectae, quae quadratae iis aequales sunt, irrationales uocentur, in quadratis ipsa latera, in ceteris figuris rectilineis eae, ex quibus quadrata illis aequalia construi possunt.

Liber XI.

Definitiones.

1.     Solidum est, quod longitudinem et latitudinem et altitudinem habet.

2.     Terminus autem solidi superficies est.

3.     Recta ad planum perpendicularis est, ubi ad omnes rectas eam tangentes et in plano illo ductas rectos eam tangentes et in plano illo ductas rectos angulos efficit.

4.     Planum ad planum perpendiculare est, ubi rectae ad communem sectionem planorum perpendiculares in alterutro planorum ductae ad alterum planum perpendiculares sunt.

5.     Rectae ad planum inclinatio est, ubi ab eleuato termino rectae ad planum perpendicularis ducitur, et ab puncto ita orto ad terminum rectae in plano positum recta ducitur, angulus a recta ita ducta et ab erecta comprehensus.

6.     Plani ad planum inclinatio est angulus acutus comprehensus a rectis in utroque plano ad idem punctum perpendicularibus ad communem sectionem ductis.

7.     Planum ad planum similiter inclinatum dicitur atque aliud planum ad aliud, ubi anguli, ubi anguli inclinationum, quos definiuimus, aequales sunt inter se.

8.     Parallela plana sunt, quae non concurrunt.

9.     Similes figurae solidae sunt, quae planis similibus continentur numero aequalibus.

10.  Aequales autem similes figurae solidae sunt, quae planis similibus continentur et numero et magnitudine aequalibus.

11.  Solidus angulus est amplius quam duarum rectarum inter se tangentium nec in eadem superficie positarum ad omnes rectas inclinatio. Aliter. Solidus angulus est, qui amplius quam duobus angulis planis continetur non in eodem plano positis et ad unum punctum coniunctis.

12.  Pyramis est figura solida planis comprehensa, quae ab uno plano ad unum punctum componitur.

13.  Prisma est figura solida planis comprehensa, quorum duo opposita et aequalia et similia sunt, reliqua autem parallelogramma.

14.  Sphaera est figura comprehensa, ubi manente diametro semicirculi semicirculus circumactus rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptus est.

15.  Axis autem sphaerae est recta manens, circum quam semicirculus circumagitur.

16.  Centrum autem sphaerae idem est ac semicirculi.

17.     Diametrus autem sphaerae est recta aliqua per centrum ducta et ad utramque partem superficie sphaerae terminata.

18.     Conus est figura comprehensa, ubi manente alterutro latere trianguli rectanguli eorum, quae rectum angulum comprehendunt, triangulus circumactus rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptus est. Et si recta manens aequalis est reliquae ad angulum rectum positae, quae circumagitur, conus rectangulus erit, sin minor est, obsiangulus, sin maior, acutiangulus.

19.     Axis autem coni recta est manens, circum quam triangulus circumagitur.

20.     Basis autem circulus est, qui a recta circumacta describitur.

21.     Cylindrus est figura comprehensa, ubi alterutro laterum parallelogrammi rectanguli rectum angulum comprehenditum manete prallelogrammum circumactum rursus ad eundem locum restituitur, unde ferri coeptum est.

22.     Axis autem cylindri recta est manens, circum quam parallelogrammum circumagitur.

23.     Bases autem circuli sunt, qui a duobus letribus inter se oppositis in circumagendo describuntur.

24.     Similes coni et cylindri sunt, quorum axes et basium diametri proprtionales sunt.

25.     Cubus est figura solida sex quadratis aequalibus comprehensa.

27.  Octaëdrum est figura solida octo triangulis aequalibus et aequilateris comprehensa.

27.  Icosaëdrum est figura solida uiginti triangulis aequalibus et aequilateris comprehensa.

28.  Dodecaëdrum est figura solida duodecim pentagonis aequalibus et aequilateris et aequiangulis comprehensa.

St.-Michaels-Gymnasium Metten metten_gym@degnet.de