Dissertatio de Arte Combinatoria,
cum Appendice.

1666.

...

Definitiones

1.     Variatio h. l. est mutatio relationis. Mutatio enim alia substantiae est, alia quantitatis, alia qualitatis; alia nihil in re mutat, sed solum respectum, situm, conjunctionem cum alio aliquo.

2.     Variabilitas est ipsa quantitatis omnium variationum. Termini enim potentiarum in abstracto sumti quantitatem earum denotant, ita enim in Mechanicis frequenter loquuntur, potentias machinarum duarum duplas esse invicem.

3.     Situs est localitas partium.

4.     Situs est vel absolutus vel relatus: ille partium cum toto, hic partium ad partes. In illo spectantur numerus locorum et distantia ab initio et fine, in hoc neque initium neque finis intelligitur, sed spectatur tantum distantia partis a data parte. Hinc ille exprimitur linea aut lineis figuram non claudentibus neque in se redeuntibus, et optime linea recta; hic linea aut lineis figuram claudentibus, et optime circulo. In illo prioritatis et posterioritatis ratio habetur maxima, in hoc nulla. Illum igitur optime Ordinem dixeris;

5.      Hunc vicinitatem, illum dispositionem, hunc compostitionem. Igitur ratione ordinis differunt situs sequentes: abcd. bcda. cdab. dabc. At in Vicinitate nulla variatio, sed unus situs esse intelligitur, hic nempe:
Unde festivissimus Taubermannus, cum Decanus Facultatis philosophiae esset, dicitur Witebergae in publico programmate seriem candidatorum Magisterii circulari dispositione complexus, ne avidi lectores intelligerent, quis suillum locum teneret.

6.     Variabilitatem ordinis intelligemus fere, quando ponemus Variationes „κατ‘ εξοχην“ v. g. Res IV. possunt transponi modis 24.

7.     Variabilitatem complexionis dicimus Complexiones. v. g. Res IV. modis diversis 15. invicem conjugi possunt.

8.     Numerum rerum variandarum dicemus simpliciter, Numerum, v. g. IV. in casu proposito. 

9.     Complexio, est unio minoris totius in majori, uti in prooemio declaravimus.

10.  Ut autem certa complexio determinetur, majus totum dividendum est in partes aequales sippositas ut minimas, (id est quae nunc quidem non ulterius dividantur) ex quibus componitur et quarum variatione variatur complexio seu totum minus; quia igitur totum ipsum minus, majus minusve est, prout plures partes una vice ingrediuntur; numerum simul ac semel conjungendarum partium, seu unitatum, dicemus Exponentem, exemplo progressionis geometricae, v. g. sit totum ABCD. Si tota minora constare debent ex 2. partibus, v. g. AB. AC. AD. BC. BD. CD. exponens erit 2. sin ex tribus, v. g. ABC. ABD. ACD. BCD. exponens erit 3.

11.  Dato exponente complexiones ita scribemus: si exponens erit 2. Com2nationem (combinationem); si 3. Con3nationem (conternationem); si 4. Con4nationem, etc.

12.  Complexiones simpliciter sunt omnes  complexiones omnium exponentium computatae, v. g. 15. (de 4. Numero) quae componuntur ex 4. (Unione) 6. (com2natione) 4. (con3natione) 1. (con4natione).

13.  Variatio utilis (inutilis), est quae propter materiam subjectam locum habere non potest; v. g. 4. Elementa com2nari possunt 6. modis; sed duae com2nationes sunt inutiles, nempe quibus contrariae Ignis, aqua, aër, terra com2nantur.

14.  Classis rerum est totum minus, constans ex rebus convenientibus in certo tertio, tanquam partibus; sic tamen ut reliquae classes contineant res contradistinctas. v. g. infra probl. 3. ubi de classibus opinionum circa summum bonum ex B. Augustino agemus.

15.  Caput Variationis est positio certarum partium; Forma variationis, omnium, quae in pluribus variationibus obtinet. v. infra probl. 7.

16.  Variationes communes sunt in quibus plura capita concurrunt, v. infr. probl. 8 et 9.

17.  Res homogena est quae est aeque dato loco ponibilis salvo capite. Monadica autem quae non habet homogeneam. v. probl. 7.

18.  Caput multiplicabile dicetur, cujus partes possunt variari.

19.  Res repetita est quae in eadem variatione saepius ponitur. v. probl. 6.

20.  Signo + designamus additionem, - subtractionem, Ç multiplicationem, È divisionem, f. facit, seu summam, = aequalitatem. In prioribus duobus et ultimo convenimus cum Cartesio, Algebraistis, aliisque: Alia signa habet Isaacus Barrowius in sua editione Euclidis, Cantabrig. 8vo, anno 1655.

Problemata.

Tria sunt quae spectari debent: Problemata, Theoremata, usus; in singulis problematis usum adjecimus; sicubi operae pretium videbatur, et theotemata. Problematum autem quibusdam rationem solutionis addidimus. Ex iis partem posteriorem primi, secundum et quartum aliis debemus, reliqua ipsi eruimus. Quis illa primus detexerit eonem et Nicolaum Tartaleam extare dicit. In Cardani tamen practica Arithmetica quae pignoramus. Schwenterus Delic. 1. 1. Sect. 1. prop. 32. apud Hieronymum Cardanum, Johannem Butrodiit Mediolani anno 1539. nihil reperimus. Inprimis dilucide, quicquid dudum habetur, proposuit Christoph. Clavius in Com. supra Joh. de Sacro Bosco Sphaer. edit. Romae forma 4ta anno 1785 p. 33. seqq.

Probl. I.

Dato numero et exponente complexiones invenire.

Solutionis duo sunt modi, unus de omnibus complexionibus, alter de com2nationibus solum: ille quidem est generalior, hic vero pauciora requirit data, nempe numerum solum et exponentem; cum ille etiam praesupponat inventas complexiones antecedentes. Generaliorem modum nos deteximus, specialis est vulgatus. Solutio illius talis est: "„addantur complexiones exponentis antecedentis et dati de numero antecedenti, productum erunt complexiones quaesitae;“ v. g. est numerus datus 4, exponens datus 3. addantur de numero antecedente 3. com2nationes 3. est con3natio 1. (3+1. f. 4.) productum 4. erit quaesitum. Sed cum praerequirantur complexiones numeri antecedentis, construenda est tabula I. in qua linea suprema a sinistra dextrorsum continet Numeros, a 0 usque ad 12. utrimque inclusive, satis enim esse duximus huc usque progredi, quam facile est continuare: linea extrema sinistra a summo deorsum continet Exponentes a 0. ad 12. linea infima a sinistra dextrorsum continet Complexiones simpliciter. Reliquae inter has lineae continent complexiones dato numero qui sibi in vertice directe respondet, et exponente qui e regione sinistra. Ratio solutionis, et fundamentum tabulae patebit, si demonstraverimus, Complexiones dati numeri et exponentis oriri ex summa complexionum de numero praecedenti exponentis et praecedentis et dati. Sit enim numerus datus 5, exponens datus 3. Erit numerus antecedens 4. is habet con3nationes 4, per Tabulam I. com2nationes 6. Jam numerus 5. habet omnes con3nationes quas praecedens (in toto enim et pars continetur) nempe 4. et praeterea tot quot praecedens habet com2nationes, nova enim res qua numerus 5. excedit 4. addita singulis com2nationibus hujus, facit totidem novas con3nationes nempe 6.+ 4. f. 10. E. Complexiones dati numeri etc. Q.E.D.

Tabula I.

St.-Michaels-Gymnasium Metten metten_gym@degnet.de